Question

如圖，正方形的邊長為4，E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F．問是否存在一點P，使得以P，F，E為頂點的三角形△ABE相似？若存在，求出點P到A點的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：在射線AD上存在一點P，使得以P，F，E為頂點的三角形與△ABE相似，由于對應關系不確定，所以應針對不同的對應關系分情況考慮：當∠PEF=∠EAB時，則得到四邊形ABEP為矩形，從而求得x的值；當∠PEF=∠AEB時，得到等腰△APE．再根據等腰三角形的三線合一得到F是AE的中點，運用勾股定理和相似三角形的性質進行求解．
解答：解：在射線AD上存在一點P，使得以P，F，E為頂點的三角形與△ABE相似，
理由如下：設PA=x，
情況1，當△EFP∽ABE時，則有∠PEF=∠EAB，PE∥AB，
∴四邊形ABEP為矩形，
∴PA=EB=2，即x=2，
情況2，當△PFE∽△ABE時，且∠PEF=∠AEB時，
∵∠PAF=∠AEB
∴∠PEF=∠PAF，
∴PE=PA
∵PF⊥AE，
∴點F為AE的中點，
∵AE====2
∴EF=AE=，
由，即得PE=5，
∴PA=5，
∴當PA=2或PA=5時，以P，F，E為頂點的三角形與△ABE相似．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、正方形的性質以及勾股定理的運用，解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率．