Question

已知△ABC為等邊三角形，E為射線BA上一點，D為直線BC上一點，ED=EC．
（1）當點E在AB的上，點D在CB的延長線上時（如圖1），求證：AE+AC=CD；
（2）當點E在BA的延長線上，點D在BC上時（如圖2），猜想AE、AC和CD的數量關系，并證明你的猜想；
（3）當點E在BA的延長線上，點D在BC的延長線上時（如圖3），請直接寫出AE、AC和CD的數量關系．

Answer 1

分析：（1）在CD上截取CF=AE，連接EF．運用“AAS”證明△ECF≌△EDB得AE=BD，從而得證；
（2）在BC的延長線上截取CF=AE，連接EF．同理可得AE、AC和CD的數量關系；
（3）同（2）的探究過程可得AE、AC和CD的數量關系．

解答：
（1）證明：在CD上截取CF=AE，連接EF．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC．
∴BF=BE，△BEF為等邊三角形．
∴∠EBD=∠EFC=120°．
又∵ED=EC，
∴∠D=∠ECF．
∴△EDB≌△ECF （AAS）
∴CF=BD．
∴AE=BD．
∵CD=BC+BD，BC=AC，
∴AE+AC=CD；

（2）解：在BC的延長線上截取CF=AE，連接EF．
同（1）的證明過程可得AE=BD．
∵CD=BC-BD，BC=AC，
∴AC-AE=CD；

（3）解：AE-AC=CD．
（在BC的延長線上截取CF=AE，連接EF．證明過程類似（2））．

點評：此題考查全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質，運用了類比的數學思想進行探究，有利于培養分散思維習慣和舉一反三的能力．