Question

如圖，在直角坐標系中，以x軸上一點P（1，0）為圓心的圓與x軸、y軸分別交于A、B、C、D四點，點C的坐標為（0，

3

）．
（1）直接寫出A、B、D三點坐標；
（2）若拋物線y=x²+bx+c過A、D兩點，求這條拋物線的解析式，并判斷點B是否在所求的拋物線上，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于AB是直徑，且垂直于弦CD，由垂徑定理即可求得OD的長，也就能求出D點的坐標；
連接AC、BC；在Rt△ABC中，OC⊥AB，由射影定理可得：OC²=OA•OB，用⊙O的半徑表示出OA、OB的長，代入上式即可求出⊙O的半徑，進而可得到A、B的坐標；
（2）將A、D的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值；確定了拋物線的解析式后，再將B點坐標代入，即可判斷出B點是否在該二次函數的圖象上．

解答：解：（1）連接AC、BC，則∠ACB=90°；
∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥CD，
∴OC=OD；
易知OC=

3

，則OD=OC=

3

，即D（0，-

3

）；
Rt△ABC中，OC⊥AB，由射影定理，得：
OA•OB=OC²=3，
設⊙O的半徑為R，則OA=R-1，OB=R+1，代入上式，得：
（R+1）（R-1）=3，解得R=2；
∴OA=1，OB=3，即A（-1，0），B（3，0）；
所以A、B、D的坐標分別為：A（-1，0），B（3，0），D（0，-

3

）．

（2）將A（-1，0），D（0，-

3

）代入y=x²+bx+c中，得：

c=- 3 1-b+c=0

，解得

b=1- 3 c=- 3

；
∴y=x²+（1-

3

）x-

3

；
當x=3時，x²+（1-

3

）x-

3

=9+（1-

3

）×3-

3

=12-4

3

≠0；
∴點B（3，0）不在拋物線y=x²+（1-

3

）x-

3

上．

點評：此題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的性質及二次函數解析式的確定；能夠在Rt△ACB中通過射影定理正確的求得⊙O的半徑，是解答此題的關鍵．