Question

（2003•茂名）已知拋物線y=-x²+2kx-k²+k+1（k是常數）
（1）通過配方，寫出拋物線的對稱軸和頂點坐標；
（2）求證：不論k取任何實數，拋物線的頂點都在某一次函數的圖象上．并指出此一次函數的解析式；
（3）設此拋物線與y軸的交點為A（0，1），其頂點為B．試問：在x軸上是否存在一點P，使△ABP的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請簡述理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把函數關系式化為頂點式y=-x²+2kx=k²+k+1=-（x-k）²+k+1，可得拋物線的頂點坐標是（k，k+1），對稱軸是x=k．
（2）因把拋物線的頂點（k，k+1），寫成方程組，消去k得，y=x+1，由此可見函數y=x+1是所求函數的解析式．
（3）把點A（0，1），代入二次函數可知，1=-k²+k+1，解得k=0或k=1，分別把k值代入題中確定，當k=1時，k+1=2，他的頂點為B（1，2），取AP+PB最小，點P為所求的點．設直線A′B的解析式為y=ax+b，把點A′（0，-1），B（1，2），代入解析式可得，解得y=3x-1，因為點P在x軸上，所以當y=0時，x=，所以當點p的坐標為（，0）時，△ABP的周長最小．
解答：解：（1）因為y=-x²+2kx-k²+k+1=-（x-k）²+k+1，
所以拋物線的頂點坐標是（k，k+1），對稱軸是x=k．

（2）因為拋物線的頂點為（k，k+1），
所以，
消去k得，y=x+1
由此可見，不論k取任何實數，拋物線的頂點（k，k+1）都滿足函數y=x+1，
即在一次函數y=x+1的圖象上．
所以函數y=x+1是所求函數的解析式．

（3）符合條件的點P存在．
因為點A（0，1）_在拋物線上，
所以，1=-k²+k+1，
解得k=0或k=1，
①當k=0時，k+1=1，所以它的頂點是B（0，1）與點A重合，不合題意，舍去．所以k≠0
②當k=1時，k+1=2，他的頂點為B（1，2），
因為點A、B已經確定，所以AB的長度為定值，
所以要使△ABP的周長最小，只須AP+PB的和最小．
此時，取AP+PB最小，所以點P為所求的點，
設直線A′B的解析式為y=ax+b，它過點A′（0，-1），B（1，2），
所以，
解得，
所以y=3x-1，
因為點P在x軸上，所以當y=0時，x=，
所以當點p的坐標為（，0）時，△ABP的周長最小．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及的知識點有拋物線的頂點公式和待定系數法求函數解析式的方法以及線段和的最小值問題．注意分析題意分情況討論結果．