Question

（2003•大連）如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，PCB是⊙O的割線，交⊙O于C、B兩點，半徑OD⊥BC，垂足為E，AD交PB于點F，BF=PF．
（1）求證：PA=PF；
（2）若CF=1，求切線PA的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過證明角相等來得出邊相等，本題中需要證明的相等角是∠PFA=∠PAF，我們看這兩個角和哪些角有關系，∠PFA=∠DFE，∠D+∠DFE=∠D+∠DFA=90°，再看∠PAF，根據切線的性質可得出，∠PAF+∠OAD=90°，那么只要證明∠ODA=∠OAD，就能得出∠PFA=∠PAF的結論，而∠ODA=∠OAD正好可以用等邊對等角來得出，因此便能證明出PA=PF；
（2）根據切割線定理我們可知：PA²=PC•PB，而PC=PF-1，PB=2PF，根據BF=PF=PA，那么將相等的線段進行置換即可求出PA的長．
解答：（1）證明：∵PA是圓O的切線，
∴∠OAD+∠PAF=90°…①
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA…②
∵OD⊥BC，
∴∠ODA+∠DFE=90°，而∠DFE=∠PFA．
∴∠PFA+∠ODA=90°…③
根據①②③可得：∠PFA=∠PAF，
∴PA=PF．

（2）解：∵PA是圓O的切線，
∴PA²=PC•PB．
∵PC=PF-CF=PA-1，PB=2PF=2PA，
∴PA²=（PA-1）•2PA．
∴PA=2．
點評：本題主要考查了切線的性質，切割線定理等知識點，根據切線的性質得出直角進而用等角的余角相等來求出邊相等是解題的關鍵．