Question

（2003•大連）如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，D是拋物線上一點，其坐標為（，-），B點坐標為（1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）經過A、B、D三點的圓交AC于F，交直線y=x+3于點E．試判斷△BEF的形狀，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）將D、B的坐標代入拋物線的解析式中即可求出二次函數的解析式．
（2）先根據拋物線的解析式求出A、P的坐標，然后根據角度判定△BEF的形狀．
解答：解：（1）根據題意有：，
解得：，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3．

（2）△BEF為等腰直角三角形．
證明：如圖，當y=0時，x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1．
∴A點坐標為（-3，0）．
∵直線y=x+3，當x=0時，y=3，當y=0時，x=-3，
∴直線y=x+3經過點A（-3，0），交y軸于點P（0，3）．
∴OA=OP，∴∠OAP=45°．當x=0時，y=x²+2x-3=-3，
∴點C的坐標為（0，-3）．∴OA=OC，∴∠OAC=45°．∴∠EAF=90°，∴∠EBF=90°．
∵∠FEB=∠OAC=45°，∴∠EFB=45°，∴BE=BF．
∴△BEF為等腰直角三角形．
點評：本題難度一般，主要考查的是利用待定系數法求出二次函數的解析式，然后根據解析式求出相關坐標．