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(1999•杭州)如圖,O是△ABC的外心,弦AB的垂直平分線與AB和AC分別相交于點M、N,與BC邊的延長線相交于點P,求證:OA2=ON•OP.

【答案】分析:連接OB,所求的乘積式可化為:OA•OB=ON•OP;將上式化為比例式,然后證線段所在的三角形相似,即證△OAN∽△OPB.
解答:證明:連接OB;
∵PM垂直平分AB,
∴OA=OB,AM=BM,OM⊥AB;
∴∠AOM=∠BOM=∠AOB;
∵∠ACB=∠AOB,∴∠ACB=∠AOM;
∴∠NAO+∠ANO=∠P+∠PNC;
∵∠PNC=∠ANO,∴∠P=∠NAO;
∵∠AOM=∠MOB,
∴∠AON=∠BOP;
∴△ANO∽△PBO,
,即OA•OB=OP•ON;
∵OA=OB,
∴OA2=ON•OP.
點評:此題主要考查的是相似三角形的判定和性質,涉及到的知識點有:線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、圓周角定理、三角形的外角性質等,綜合性強,難度偏大.
練習冊系列答案
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(1999•杭州)如圖,O是△ABC的外心,弦AB的垂直平分線與AB和AC分別相交于點M、N,與BC邊的延長線相交于點P,求證:OA2=ON•OP.

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