Question

（2011•浙江模擬）如圖，A、B、C是⊙0上的三點，以BC為一邊，作∠CBD=∠ABC，過BC上一點P，作PE∥AB交BD于點E．若∠AOC=60°，BE=12，則點P到弦AB的距離為

6

3

．

Answer 1

分析：過P作PF⊥AB于F，PG⊥BD于G．先由圓周角定理得出∠CBD=∠ABC=30°，再根據角平分線的性質得出PF=PG，由平行線的性質及三角形外角的性質得出∠PEG=60°，然后解直角△PEG，求出PG的長，由此得解．

解答：解：過P作PF⊥AB于F，PG⊥BD于G．
∵∠CBD=∠ABC，PE∥AB交BD于點E，∠AOC=60°，BE=12，
∴∠CBD=∠ABC=30°．
∴BC為∠ABD的角平分線，PF=PG．
又∵PE∥AB，
∴∠BPE=∠ABC=∠CBD=30°，
∴∠PEG=∠BPE+∠CBD=30°+30°=60°．
∵PG⊥BD，
∴∠PGE=90°，
∴sin∠PEG=

PG

PE

=

3

2

∴PG=

3

2

×PE=

3

2

×12=6

3

，
∴PF=PG=6

3

．
故答案為6

3

．

點評：此題考查了圓周角定理、角平分線的定義和性質、平行線的性質以及解直角三角形等知識的綜合應用，難度適中．