Question

如圖，在中，，，，AF=10cm， AC=14cm，動點E以2cm/s的速度從點向點運動，動點以1cm/s的速度從點向點運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設運動時間為t．

（1）求證：在運動過程中，不管t取何值，都有；

（2）當t取何值時，與全等；

（3）在（2）的前提下，若，,求。

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由角平分線的性質可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面積轉化為底AE和CG的比值，根據路程=速度×時間求出AE和CG的長度即可證明在運動過程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．

(2)若△DFE與△DMG全等，則EF=MG，利用已知條件求出EF和MG的長度，建立方程解方程即可求出運動的時間．

（3）利用等高三角形的面積比等于對應底的比，即可求得答案．

試題解析：（1）證明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，

∴DF=DM，

∵S_△AED=AE•DF，S_△DGC=CG•DM，

∴，

∵點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，

∴AE=2tcm，CG=tcm，

∴，即，

∴在運動過程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．

（2）解：設時間為t時，△DFE與△DMG全等，則EF=MG

①當M在線段CG的延長線上時，

∵點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，

∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，

即10-2t=4-t，

解得：t=6，

當t=6時，MG=-2，所以舍去；

②當M在線段CG上時，

∵點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，

∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），

即10-2t=t-4，

解得：t=，

綜上所述當t=時，△DFE與△DMG全等．

（3）∵t=，

∴AE=2t=（cm），

∵DF=DM，

∴S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，

∵AC=14cm，

∴AB=（cm），

∴BF=AB-AF=-10=（cm），

∵S_△ADE：S_△BDF=AE：BF=：，S_△AED=28cm²，

∴S_△BDF=（cm²）．

考點: 1.全等三角形的判定與性質；2.三角形的面積；3.角平分線的性質．