Question

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線，如圖1，AC、AD是五邊形ABCDE的對角線．思考下列問題：
（1）如圖2，n邊形A₁A₂A₃A₄…A_n中，過頂點A₁可以畫

n-3

條對角線，它別是

A₁A_n-1（n＞3）

；過頂點A₂可以畫

（n-3）

條對角線，過頂點A₃可以畫

（n-3）

條對角線．
（2）過頂點A₁的對角線與過頂點A₂的對角線有相同的嗎？過頂點A₁的對角線與過頂點A₃的對角線有相同的嗎？
（3）在此基礎上，你能發現n邊形的對角線條數的規律嗎？
（4）在此基礎上，推導出n邊形的內角和．

Answer 1

分析：（1）過點A₁和任意不相鄰的兩點連接可得出到一條對角線；同理可得過點A₂、A₃的情況．
（2）過點A₁的和過點A₂的沒有重復的，但和過點A₃的有重復的（A₁A₃和A₃A₁重復）；
（3）過每一點有（n-3）條對角線，除去重復的即可得出總對角線的條數．
（4）過一點有（n-3）條對角線，分成（n-2）個三角形，根據三角形的內角和為180°即可得出答案．

解答：解：（1）過頂點A₁可以畫（n-3）條對角線，它別是A₁A_n-1（n＞3）；過頂點A₂可以畫（n-3）條對角線，過頂點A₃可以畫（n-3）條對角線；
（2）過點A₁的和過點A₂的沒有重復的，但和過點A₃的有重復的（A₁A₃和A₃A₁重復）；
（3）n邊形的一個頂點不能與它本身及左右兩個鄰點相連成對角線，故可連出（n-3）條，
共有n個頂點，應為n（n-3）條，這樣算出的數，正好多出了一倍，所以再除以2．
即n邊形的對角線條數的為：

n(n-3)

2

．
（4）過一點有（n-3）條對角線，分成（n-2）個三角形，
故n邊形的內角和為180°•（n-2）．

點評：此題考查了多邊形的對角線及多邊形的內角和的知識，屬于基礎題，注意一些基本知識的掌握．