Question

將所有質數從小到大依次排列為p₁，p₂，p₃，…，證明：當n≥2時，p_n+p_n+1一定可以表示為三個或三個以上的不小于2的正整數（在這些正整數中，允許有相同的數）的乘積．

Answer 1

【答案】分析：將所有質數從小到大依次排列為p₁，p₂，p₃，…，首先可從n=2去分析，可得p_n+p_n+1=p₂+p₃=8=2×2×2，即可得p_n+p_n+1可以表示為三個不小于2的正整數的乘積，然后分析n＞2時的情況，可得P_n和P_n+1一定是奇數，然后設P_n=2k+1，P_n+1=2m+1，然后根據數的奇偶性質可得m+k+1只能是合數，則可得p_n+p_n+1=2k+1+2m+1=2（m+k+1）=2×A×B，則可證得結論正確．
解答：解：∵將所有質數從小到大依次排列為p₁，p₂，p₃，…，
∴當n=2時，p₂=3，p₃=5，
∴p_n+p_n+1=p₂+p₃=8=2×2×2；
∴當n＞2時，P_n和P_n+1一定是奇數（否則可以被2整除，就不是質數了），
∴它們可以表示成2k+1的形式，
∴P_n=2k+1，P_n+1=2m+1，
∴p_n+p_n+1=2k+1+2m+1=2（m+k+1），
∵p_n＜p_n+1，
∴m＞k，
∴m+k+1＞2k+1=P_n，
∴m+k+1＜2m+1=P_n+1，
∵p_n和p_n+1是連續質數，
∴處于它們之間的數m+k+1只能是合數，能被表示為A×B的形式，
∴p_n+p_n+1=2k+1+2m+1=2（m+k+1）=2×A×B，
∴當n≥2時，p_n+p_n+1一定可以表示為三個或三個以上的不小于2的正整數（在這些正整數中，允許有相同的數）的乘積．
點評：此題考查了質數與合數的應用．此題難度較大，解題的關鍵是掌握質數與合數的性質，注意分類討論思想的應用．