Question

【題目】如圖，矩形中，為原點，點在軸上，點在軸上，點的坐標為（4,3），拋物線與軸交于點，與直線交于點，與軸交于兩點.

（1）求拋物線的表達式；

（2）點從點出發，在線段上以每秒1個單位長度的速度向點運動，與此同時，點從點出發，在線段上以每秒個單位長度的速度向點運動，當其中一點到達終點時，另一點也停止運動.連接，設運動時間為（秒）.

①當為何值時，得面積最小？

②是否存在某一時刻，使為直角三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ；②

【解析】

（1）根據點B的坐標可得出點A，C的坐標，代入拋物線解析式即可求出b，c的值，求得拋物線的解析式；

（2）①過點Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分別為F、G，推出△QFA∽△CBA，△CGP∽△CBA，用含t的式子表示OF，PG，將三角形的面積用含t的式子表示出來，結合二次函數的性質可求出最值；②由于三角形直角的位置不確定，需分情況討論，根據點的坐標，再結合兩點間的距離公式用勾股定理求解即可．

解：（1）由題意知：A(0,3),C(4,0)，

∵拋物線經過A、B兩點，

∴，解得，，

∴拋物線的表達式為：．

(2)① ∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90O， ∴AC2=AB2+BC2=5；

由，可得，∴D（2,3）．

過點Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分別為F、G，

∵∠FAQ=∠BAC， ∠QFA=∠CBA，

∴△QFA∽△CBA．

∴，

∴．

同理：△CGP∽△CBA，

∴∴，∴，

當時，△DPQ的面積最小.最小值為．

② 由圖像可知點D的坐標為(2,3)，AC=5,直線AC的解析式為：．

三角形直角的位置不確定，需分情況討論：

當時，根據勾股定理可得出：

，

整理，解方程即可得解；

當時，可知點G運動到點B的位置，點P運動到C的位置，所需時間為t=3；

當時,同理用勾股定理得出：

；

整理求解可得t的值．

由此可得出t的值為：,,,,．