Question

【題目】如果一條拋物線與x軸的兩個交點為A，B（點A在點B的左側，頂點為P，連接PA，PB，那么稱PAB為這條拋物線的“拋物線三角形”。

（1）請寫出“拋物線三角形”是等腰直角三角形時，拋物線的表達式（寫出一個即可）；

（2）若拋物線的“拋物線三角形”是等邊三角形，求b的值；

（3）若拋物線不存在“拋物線三角形”則a，b，c之間應滿足怎樣的關系式？請直接寫出關系式。

Answer 1

【答案】（1）“拋物線三角形”是等腰直角三角形時，拋物線的表達式可以為（答案不唯一）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性質可知P點的縱坐標為AB的一半，據此可設出P、A、B的坐標，可寫出拋物線的表達式；
（2）過點P作PH⊥AB于H，由等邊三角形的性質可得到PH= AH，再用b表示出P點坐標，則可得到關于b的方程，可求得b的值；
（3）由條件可知P、A、B三點不能構成三角形，則可知A、B重合或沒有A、B兩點，即拋物線與x軸有一個或沒有交點，則可得到a、b、c的關系．

（1）不妨設拋物線的對稱軸為軸，即設拋物線解析式為，

則，，，

∵為等腰直角三角形，

∴，即，解得.

∴“拋物線三角形”是等腰直角三角形時，拋物線的表達式可以為；

（2）如圖，過點作于，

∵是等邊三角形，

∴，

∵拋物線的頂點坐標為，

∴，解得；

（3）當拋物線不存在“拋物線三角形”，

則，，三點不能構成三角形，即拋物線與軸有一個或沒有交點，

∴方程有兩個相等的實數根或沒有實數根，

∴.