Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，CD⊥AB，垂足為點D，F(xiàn)是

AC

的中點，OF與AC相交于點E，AC=8cm，EF=2cm．
（1）求AO的長；
（2）求sinC的值．

Answer 1

分析：（1）由F是

AC

的中點，根據(jù)垂徑定理的推論，得到OF⊥AC，AE=CE=4，在Rt△AEO中，利用勾股定理即可計算出OA；
（2）由CD⊥AB，利用同角的余角相等得到∠AOE=∠C，所以sinC=sin∠AOE，在Rt△AEO中，即可得到sin∠AOE的值．

解答：解：（1）∵F是

AC

的中點，
∴

AF

=

CF

，
又OF是半徑，
∴OF⊥AC，
∴AE=CE，
∵AC=8cm，
∴AE=4cm，
在Rt△AEO中，AE²+EO²=AO²，
又∵EF=2cm，
∴4²+（AO-2）²=AO²，解得AO=5，
∴AO=5cm．

（2）∵OE⊥AC，
∴∠A+∠AOE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠C=90°，（1分）
∴∠AOE=∠C，
∴sinC=sin∠AOE，
∵sin∠AOE=

AE

AO

=

4

5

，
∴sinC=

4

5

．

點評：本題考查了垂徑定理以及推論；也考查了勾股定理和三角函數(shù)的定義．