Question

已知：在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，點(diǎn)E、F分別在 BC、CD上，且∠AEF=∠ACD，試探究AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系。
（1）如圖所示①，若AB=BC=AC，則AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系為____；
（2）如圖所示②，若AB=BC，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想，并加以證明； （3）如圖所示③，若AB=kBC，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想，并加以證明。

Answer 1

解：（1）AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系為AE=EF； （2）猜想：（1）中得到的結(jié)論沒有發(fā)生變化， 如圖①，過點(diǎn)E作EH∥AB交AC于點(diǎn)H，則∠BAC+∠1=180°，∠BAC=∠2， ∵AB=BC， ∴∠BAC=∠3， ∴∠2=∠3， ∴EH=EC， ∵AD∥BC， ∴∠D+∠DCB=180°， ∵∠BAC=∠D， ∴∠1=∠DCB=∠ECF， ∵∠4=∠5，∠AEF=∠ACF， ∴∠6=∠7， ∴△AEH≌△FEC， ∴AE=EF；
（3）猜想：AE=kEF， 如圖②，過點(diǎn)E作EH //AB，交AC于點(diǎn)H， 則△HEC∽△ABC， ∴， ∴=k， 同（2）可證∠AHE=∠FCE，∠EAH=∠CFE， ∴△AEH∽△FEC， ∴=k， 即AE=kEF。	②