Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，點O為Rt△ABC內一點，連接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）：以點B為旋轉中心，將△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′O′B（得到A、O的對應點分別為點A′、O′），則∠A′BC=______，OA+OB+OC=______.

Answer 1

【答案】90° .

【解析】

（1）先根據三角函數的定義求出∠ABC的度數，再根據旋轉的性質得OA=O′A′，BO=BO′，BA′=BA=2，∠OBO′=∠ABA′=60°，∠BO′A′=∠BOA=120°，則∠CBA′=∠CBA+∠ABA′=90°；

（2）先判斷△BOO′為等邊三角形，所以OO′=BO，∠BOO′=∠BO′O=60°，再證明點C、O、O′、A′共線，從而得到A′C=OC+OB+OA，然后利用勾股定理計算A′C即可．

解：（1）∵∠C=90°，AC=1，BC=，

∴tan∠ABC==，AB=2，

∴∠ABC=30°，

∵將△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′O′B（得到A、O的對應點分別為點A′、O′），

∴OA=O′A′，BO=BO′，BA′=BA=2，∠OBO′=∠ABA′=60°，∠BO′A′=∠BOA=120°，

∴∠A′BC=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°；

（2）∵BO=BO′，∠OBO′=∠ABA′=60°

∴△BOO′為等邊三角形，

∴OO′=BO，∠BOO′=∠BO′O=60°，

而∠BOC=120°，

∴∠COO′=∠BOC+∠BOO′=60°+120°=180°，

∴點O′在直線CO上，

同理可得點O、O′、A′共線，

∴A′C=OC+OO′+O′A′=OC+OB+OA，

∵∠CBA′=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°，

∴A′C==，

即OA+OB+OC=．

故答案為90°，．