Question

已知：如圖在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個結論：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE²=2（AD²+AB²），
其中結論正確的個數是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得出三角形ABD與三角形AEC全等，由全等三角形的對應邊相等得到BD=CE，本選項正確；
②由三角形ABD與三角形AEC全等，得到一對角相等，再利用等腰直角三角形的性質及等量代換得到BD垂直于CE，本選項正確；
③由等腰直角三角形的性質得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代換得到∠ACE+∠DBC=45°，本選項正確；
④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出關系式，等量代換即可作出判斷．
解答：解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本選項正確；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
則BD⊥CE，本選項正確；
③∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，本選項正確；
④∵BD⊥CE，
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE²=BD²+DE²，
∵△ADE為等腰直角三角形，
∴DE=AD，即DE²=2AD²，
∴BE²=BD²+DE²=BD²+2AD²，
而BD²≠2AB²，本選項錯誤，
綜上，正確的個數為3個．
故選C
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理，以及等腰直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．