Question

【題目】如圖 1,A（-2,0）,B（0,4）,以 B 點為直角頂點在第二象限作等腰直角△ABC．

（1）求 C 點的坐標；

（2）在坐標平面內是否存在一點 P,使△PAB 與△ABC 全等?若存在,直接寫出 P 點坐標,若不存在,請說明理由；

（3）如圖 2,點 E 為 y 軸正半軸上一動點, 以 E 為直角頂點作等腰直角△AEM,過 M 作 MN⊥x 軸于 N,求 OE-MN 的值．

Answer 1

【答案】（1）C（-4，6）；（2）存在一點P，使△PAB與△ABC全等，符合條件的P的坐標是（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）；（3）2．

【解析】

（1））作CE⊥y軸于E，證△CEB≌△BOA，推出CE=OB=4，BE=AO=2，即可得出答案；
（2）分為四種情況，畫出符合條件的圖形，構造直角三角形，證三角形全等，即可得出答案；
（3）作MF⊥y軸于F，證△EFM≌△AOE，求出EF，即可得出答案．

解：（1）作CE⊥y軸于E，如圖1，

∵A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵∠CBA=90°，
∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，
∴∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°，
∴∠ECB=∠ABO，
在△CBE和△BAO中

∴△CBE≌△BAO，
∴CE=BO=4，BE=AO=2，
即OE=2+4=6，
∴C（-4，6）．
（2）存在一點P，使△PAB與△ABC全等，

分為四種情況：①如圖2，當P和C重合時，△PAB和△ABC全等，即此時P的坐標是（-4，6）；

②如圖3，過P作PE⊥x軸于E，
則∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°，
∴∠EPA+∠PAE=90°，∠PAE+∠BAO=90°，
∴∠EPA=∠BAO，
在△PEA和△AOB中

∴△PEA≌△AOB，
∴PE=AO=2，EA=BO=4，
∴OE=2+4=6，
即P的坐標是（-6，2）；

③如圖4，過C作CM⊥x軸于M，過P作PE⊥x軸于E，
則∠CMA=∠PEA=90°，
∵△CBA≌△PBA，
∴∠PAB=∠CAB=45°，AC=AP，
∴∠CAP=90°，
∴∠MCA+∠CAM=90°，∠CAM+∠PAE=90°，
∴∠MCA=∠PAE，
在△CMA和△AEP中

∴△CMA≌△AEP，
∴PE=AM，CM=AE，
∵C（-4，6），A（-2，0），
∴PE=4-2=2，OE=AE-A0=6-2=4，
即P的坐標是（4，2）；

④如圖5，過P作PE⊥x軸于E，
∵△CBA≌△PAB，
∴AB=AP，∠CBA=∠BAP=90°，
則∠AEP=∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠PAE=90°，∠PAE+∠APE=90°，
∴∠BAO=∠APE，
在△AOB和△PEA中

∴△AOB≌△PEA，
∴PE=AO=2，AE=OB=4，
∴0E=AE-AO=4-2=2，
即P的坐標是（2，-2），
綜合上述：符合條件的P的坐標是（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）．

（3）如圖6，作MF⊥y軸于F，
則∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°，
∵∠AEO+∠MEF=90°，∠MEF+∠EMF=90°，
∴∠AEO=∠EMF，
在△AOE和△EMF中
∵

∴△AEO≌△EMF（AAS），
∴EF=AO=2，MF=OE，
∵MN⊥x軸，MF⊥y軸，
∴∠MFO=∠FON=∠MNO=90°，
∴四邊形FONM是矩形，
∴MN=OF，
∴OE-MN=OE-OF=EF=OA=2．

故答案為：（1）C（-4，6）；（2）存在一點P，使△PAB與△ABC全等，符合條件的P的坐標是（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）；（3）2．