Question

如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，點P、Q分別在邊AB、BC上，且AP=BQ．
（1）求證：△BDQ≌△ADP；
（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（結果保留根號）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是菱形，可證得AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC，又由∠A=60°，易得△ABD是等邊三角形，然后由SAS即可證得△BDQ≌△ADP；
（2）首先過點Q作QE⊥AB，交AB的延長線于E，然后由三角函數的性質，即可求得PE與QE的長，又由勾股定理，即可求得PQ的長，則可求得cos∠BPQ的值．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，∠ABC=120°，
∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°，
∵AP=BQ，
∴△BDQ≌△ADP（SAS）；

（2）解：過點Q作QE⊥AB，交AB的延長線于E，
∵BQ=AP=2，
∵AD∥BC，
∴∠QBE=60°，
∴QE=QB•sin60°=2×=，BE=QB•cos60°=2×=1，
∵AB=AD=3，
∴PB=AB-AP=3-2=1，
∴PE=PB+BE=2，
∴在Rt△PQE中，PQ==，
∴cos∠BPQ===．
點評：此題考查了菱形的性質與勾股定理、三角函數的性質．此題難度適中，解題的關鍵是數形結合思想的應用．