Question

已知：如圖，△ABC是⊙O的內接正三角形，點D是的中點，連接BD并延長BD到點E，使BD=DE，連接CD和DE．
（1）求證：△CDE是正三角形．
（2）問：△CDE經怎樣的變換后能與△ABC成位似圖形？請在圖中直接畫出△CDE變換后的對應三角形△CD'E'，并求出△CD'E'與△ABC的位似比．

Answer 1

解：（1）證明：∵△ABC是⊙O的內接正三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠CDE=60°，
∵點D是的中點，
∴BD=CD，
∵BD=DE，
∴CD=DE，
∴△CDE是正三角形；

（2）如圖：當△CDE繞點C旋轉∠ACD的度數時與△ABC成位似圖形，
∵∠BDC=120°，BD=CD，
∴∠CBD=∠BCD=30°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACD=90°，
∴當△CDE繞點C旋轉90°時與△ABC成位似圖形，
作DF⊥BC于F點，
設DC=2x，
∵∠BCD=30°，
∴FC=，
∴BC=2FC=2x，
∴位似比====，
∴位似比為．
分析：（1）利用圓內接四邊形的性質可以求得∠BDC的度數，然后利用有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可以判定等邊三角形；
（2）當CD與CA重合時，兩三角形位似，所以當旋轉∠ACD的度數的時候，兩三角形位似，位似比等于CD與CA的比．∠B
點評：本題考查了位似變換、等邊三角形的判定及性質、圓心角、弦、弧之間的關系，解題的關鍵是利用圓內接四邊形的性質得到∠BDC的度數．