Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的三個頂點A，O，C在坐標軸上，矩形的面積為12，對角線AC所在直線的解析式為y＝kx－4k（k≠0）．

（1）求A，C的坐標；

（2）若D為AC中點，過D的直線交y軸負半軸于E，交BC于F，且OE＝1，求直線EF的解析式；

（3）在（2）的條件下，在坐標平面內是否存在一點G，使以C，D，F，G為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），B（0，3）；（2）直線EF的解析式為y=x-1；

（3）存在；點G的坐標為（，），（，），（，）．

【解析】

（1）設A（a，0），B（0，b），將A的坐標代入y＝kx－4k（k≠0），解出a值，再根據矩形的面積為12，解出b即可；

（2）利用中點坐標公式求得點D的坐標，由點D和點E的坐標利用待定系數法求得直線EF的解析式即可；

（3）分別以DC、DF；CD、CF；CF、DF為一組鄰邊求得點G的坐標即可．

解：（1）設A（a，0），B（0，b），

將A的坐標代入y＝kx－4k（k≠0），得0＝ka－4k，

解得a=4，

∵矩形的面積為12，

∴ab=12，

解得b=3，

∴A（4，0），B（0，3）；

（2）∵D為AC的中點，

∴點D的坐標為（2，），

∵OE=1，

∴點E的坐標為（0，-1），

設直線EF的解析式為y=kx+b，將點D和點E的坐標代入得，

解得，

∴直線EF的解析式為y=x-1；

（3）存在；

理由：∵點F在BC上，

∴點F的縱坐標為3，

將y=3代入y=x-1得x-1=3，

解得：x=，

∴點F的坐標為（，3）；

①如圖1所示：

∵四邊形CDFG為平行四邊形，

∴GM=MD，CM=MF，

∴點M的坐標為（，3），

設點G的坐標為（x，y），

∴，，解得：x=，y=，

∴點G的坐標為（，）；

②如圖2所示：

∵點F的坐標為（，3），

∴CF=，

∵四邊形CGDF為平行四邊形，

∴CF∥GD，CF=GD，

∴點G的坐標為（，）；

③如圖3所示：

∵四邊形CGDF為平行四邊形，

∴CF∥GD，CF=GD，

∴點G的坐標為（，）；

綜上所述：點G的坐標為（，），（，），（，）．