Question

（1）如圖1，P，Q，R是△ABC三邊上的點，且

AP

AB

=

BQ

BC

=

CR

AC

=

1

3

，求

S△PQR

S△ABC

的值．
在中學數(shù)學中，由2個數(shù)學系統(tǒng)中所含元素的屬性在某些方面相同或相似，推出它們的其他屬性也可能相同或相似的思維形式被稱為類比推理，運用類比推理的模式解決數(shù)學問題的方法稱為類比法．類比既是一種邏輯方法，也是一種科學研究的方法，是最重要的數(shù)學思想方法之一．
（2）請結(jié)合第一小題，完成下面小題的解答．如圖2，E，F(xiàn)，G，H分別在四邊形ABCD的四邊上，且

AE

EB

=

BF

FC

=

CG

GD

=

DH

HA

=3，求

S四邊形EFGH

S四邊形ABCD

的值．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)已知條件知AP=

1

3

AB，BQ=

1

3

BC，CR=

1

3

AC，BP=

2

3

AB，CQ=

2

3

BC，AR=

2

3

AC；然后利用三角形的面積公式S=

1

2

absinC求得△ABC中除去△PQR的三個小三角形的面積與△ABC的面積間的數(shù)量關系；最后由S_△PQR=S_△ABC-S_△APR-S_△BPQ-S_△CQR=

1

3

S_△ABC可以推知

S△PQR

S△ABC

的值；
（2）連接BD、AC．解答過程同（1）．

解答：解：（1）∵P，Q，R是△ABC三邊上的點，且

AP

AB

=

BQ

BC

=

CR

AC

=

1

3

，
∴AP=

1

3

AB，BQ=

1

3

BC，CR=

1

3

AC，
∴BP=

2

3

AB，CQ=

2

3

BC，AR=

2

3

AC，
∴S_△APR=

1

2

AP•ARsinA=

1

2

×

1

3

AB•

2

3

AC•sinA=

2

9

×

1

2

AB•ACsinA=

2

9

S_△ABC；
S_△BPQ=

1

2

BQ•BPsinB=

1

2

×

1

3

BC•

2

3

AB•sinB=

2

9

×

1

2

BC•ABsinB=

2

9

S_△ABC；
S_△CQR=

1

2

CR•CQsinC=

1

2

×

1

3

AC•

2

3

BC•sinC=

2

9

×

1

2

AC•BCsinC=

2

9

S_△ABC；
∴S_△PQR=S_△ABC-S_△APR-S_△BPQ-S_△CQR=

1

3

S_△ABC，
∴

S△PQR

S△ABC

=

1

3

；

（2）連接BD、AC．
∵如圖2，E，F(xiàn)，G，H分別在四邊形ABCD的四邊上，且

AE

EB

=

BF

FC

=

CG

GD

=

DH

HA

=3，
∴AE=

3

4

AB，AH=

1

4

AD，CF=

1

4

BC，CG=

3

4

CD，
∴S_△AHE=

1

2

AE•AHsin∠HAE=

1

2

×

3

4

AB×

1

4

ADsin∠HAE=

3

16

×

1

2

AB•ADsin∠HAE=

3

16

S_△ABD，
S_△CFG=

1

2

CF•CGsin∠DCB=

1

2

×

3

4

CD×

1

4

BCsin∠DCB=

3

16

×

1

2

CD•BCsin∠DCB=

3

16

S_△CDB，
∴S_△AHE+S_△CFG=

3

16

（S_△ABD+S_△CDB）=

3

16

S_{四邊形ABCD}；
同理，S_△DGH+S_△BEF=

3

16

（S_△ADC+S_△ABC）=

3

16

S_{四邊形ABCD}；
∴S_{四邊形EFGH}=S_{四邊形ABCD}-S_△AHE-S_△CFG-S_△AHE-S_△CFG=

5

8

S_{四邊形EFGH}，
∴

S四邊形EFGH

S四邊形ABCD

=

5

8

．

點評：本題考查了面積及等積轉(zhuǎn)換．解答本題的關鍵是根據(jù)已知條件找出組成大圖形中的小三角形的面積與大圖形面積間的數(shù)量關系．