Question

如圖，等腰△ABC中，AE是底邊BC上的高，點O在AE上，⊙O與AB和BC分別相切．
（1）⊙O是否為△ABC的內切圓？請說明理由．
（2）若AB=5，BC=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）是．
理由是：∵⊙O與AB相切，把切點記作D．
連接OD，則OD⊥AB于D．作OF⊥AC于F，
∵AE是底邊BC上的高，
∴AE也是頂角∠BAC的平分線．
∴OF=OD=r為⊙O的半徑．
∴⊙O與AC相切于F．
又∵⊙O與BC相切，
∴⊙O是△ABC的內切圓．

（2）∵OE⊥BC于E，
∴點E是切點，即OE=r．
由題意，AB=5，BE=AB=2，
∴AE==．
∵Rt△AOD∽Rt△ABE，
∴，
即．
解得，r=．
∴⊙O的半徑是．
分析：（1）本題需先利用等腰三角形三線合一的性質，判斷出⊙O與AC相切，即可證出⊙O是△ABC的內切圓．
（2）本題需先根據勾股定理求出AE的長，再根據Rt△AOD∽Rt△ABE，得出，最后即可求出⊙O的半徑的長．
點評：本題主要考查了三角形內切圓的性質，解題時要注意綜合應用等腰三角形的性質、勾股定理和相似三角形的判定．