Question

已知在△ABC中，BC=a．如圖1，點B₁、C₁分別是AB、AC的中點，則線段B₁C₁的長是

 

；如圖2，點B₁、B₂，C₁、C₂分別是AB、AC的三等分點，則線段B₁C₁+B₂C₂的值是

 

；如圖3，點B₁、B₂、…、B_n，C₁、C₂、…、C_n分別是AB、AC的（n+1）等分點，則線段B₁C₁+B₂C₂+…+B_nC_n的值是

 

．

Answer 1

分析：先根據三角形的中位線定理得出B₁C₁的長，再作圖2中三角形的中位線，根據三角形的中位線定理和梯形的中位線定理推得B₁C₁+B₂C₂的值，依此類推得出B₁C₁+B₂C₂+B₃C₃的值，從而得出B₁C₁+B₂C₂+…+B_nC_n的值．

解答：解：∵點B₁、C₁分別是AB、AC的中點，
∴B₁C₁=

1

2

BC=

1

2

a，
作圖2中三角形的中位線MN，則MN=

1

2

a，
則B₁C₁=

1

3

a①，B₂C₂=

2

3

a②，
①+②得，B₁C₁+B₂C₂=

1

3

a+

2

3

a=a，
同理得出B₁C₁+B₂C₂+B₃C₃=

1

4

a+

1

2

a+

3

4

a=

3

2

a，
…
B₁C₁+B₂C₂+…+B_nC_n=

1

2

na．
故答案為

1

2

na．

點評：本題是一道規(guī)律性的題目，考查了三角形的中位線定理以及梯形的中位線定理，是基礎知識要熟練掌握．