Question

【題目】一次函數y=﹣ x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，以AB為邊在第一象限內做等邊△ABC

（1）求△ABC的面積和點C的坐標；
（2）如果在第二象限內有一點P（a， ），試用含a的代數式表示四邊形ABPO的面積．
（3）在x軸上是否存在點M，使△MAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：y=﹣ x+1與x軸、y軸交于A、B兩點，

∴A（ ，0），B（0，1）．

∵△AOB為直角三角形，

∴AB=2．

∴S△ABC= ×2×sin60°= ．

∵A（ ，0），B（0，1）．

∴OA= ，OB=1，

∴tan∠OAB= = ，

∴∠OAB=30°，

∵∠BAC=60°，

∴∠OAC=90°，

∴C（1，2）

（2）

解：如圖1，

S四邊形ABPO=S△ABO+S△BOP= ×OA×OB+ ×OB×h= × ×1+ ×1×|a|= + a．

∵P在第二象限，

∴a＜0

∴S四邊形ABPO= ﹣ =

（3）

解：如圖2，

設點M（m，0），

∵A（ ，0），B（0，1）．

∴AM2=（m﹣ ）2，MB2=m2+1，AB=2，

∵△MAB為等腰三角形，

∴①MA=MB，

∴MA2=MB2，

∴（m﹣ ）2=m2+1，

∴m= ，

∴M（ ，0）

②MA=AB，

∴MA2=AB2，

∴（m﹣ ）2=4，

∴m= ±2，

∴M（ +2，0）或（ ﹣2，0）

③MB=AB，

∴MB2=AB2，

∴m2+1=4，

∴m= （舍）或m=﹣ ．

∴M（﹣ ，0）．

∴滿足條件的M的坐標為（ ，0）、（ +2，0）、（ ﹣2，0）、（﹣ ，0）

【解析】（1）首先令x=0，y=0求出一次函數的解析式．然后根據勾股定理求出AB的長，繼而可求出三角形ABC的面積．（2）依題意可得出S四邊形ABPO=S△ABO+S△BOP ． （3）設出點M的坐標，分三種，列方程即可得出結論．