Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經過點A（-1，0） ，C（0，5）兩點與x軸另一交點為B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），點P是第一象限內的拋物線上的動點．

（1）求此拋物線的解析式．

（2）當a=1時，求四邊形MEFP面積的最大值，并求此時點P的坐標．

（3）若△PCM是以點P為頂角頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最小？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x+5．(2) ，點P坐標為（，）．(3)

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出最值及點P坐標；

（3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3所示，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點M1關于x軸的對稱點M2，則M2（1，-1）；連接PM2，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM2最小．

試題解析：（1）∵對稱軸為直線x=2，

∴設拋物線解析式為y=a（x-2）2+k．

將A（-1，0），C（0，5）代入得：

，解得，

∴y=-（x-2）2+9=-x2+4x+5．

（2）當a=1時，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．

設P（x，-x2+4x+5），

如答圖2，過點P作PN⊥y軸于點N，則PN=x，ON=-x2+4x+5，

∴MN=ON-OM=-x2+4x+4．

S四邊形MEFP=S梯形OFPN-S△PMN-S△OME

=（PN+OF）ON-PNMN-OMOE

=（x+2）（-x2+4x+5）-x（-x2+4x+4）-×1×1

=-x2+x+

=-（x-）2+

∴當x=時，四邊形MEFP的面積有最大值為，

把x=時，y=-（-2）2+9=．

此時點P坐標為（，）．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，

∴點P的縱坐標為3．

令y=-x2+4x+5=3，解得x=2±．

∵點P在第一象限，

∴P（2+，3）．

四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．

如答圖3，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；

作點M1關于x軸的對稱點M2，則M2（1，-1）；

連接PM2，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM2最小．

設直線PM2的解析式為y=mx+n，將P（2+，3），M2（1，-1）代入得：

，解得：m=，n=-，

∴y=x-．

當y=0時，解得x=．

∴F（，0）．

∵a+1=，∴a=．

∴a=時，四邊形PMEF周長最小．