Question

已知半徑為1cm的圓，在下面三個圖中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在圖2中∠ABC=90°．
（1）如圖1，若將圓心由點A沿A→C方向運動到點C，求圓掃過的區域面積；
（2）如圖2，若將圓心由點A沿A→B→C方向運動到點C，求圓掃過的區域面積；
（3）如圖3，若將圓心由點A沿A→B→C→A方向運動回到點A．
則：I）陰影部分面積為 _________ ；II）圓掃過的區域面積為 _________ ．

Answer 1

解：（1）

由題意得，圓掃過的面積=DE×AC+πr²=（20+π）cm²．
（2）圓掃過的區域面積=AB的面積+BC的面積﹣一個圓的面積，
結合（1）的求解方法，可得所求面積=（2rπAB+πr²）+（2rπBC+πr²）﹣πr²=2r（AB+BC）+πr²=（28+π）cm²．
（3）

由題意得，EF=2r=2cm，HE=EFcot∠EHF=EFcot∠BAC=2×=cm，
HF===cm；
MD=2r=2cm，DN=MDcot∠DNM=MDcot∠ACB=2×=cm，
MN===cm，
故可得掃過的面積=圖2的面積+S_△HEF+S_△DMN+S_矩形EFMD=28+π+++=（+π）cm²．
陰影部分的兩條直角邊分別為：AB﹣r﹣HF=cm、AC﹣r﹣MN=cm，
故陰影部分的面積為：=cm²．