Question

（2005•南通）已知一個面積為S的等邊三角形，現將其各邊n（n為大于2的整數）等分，并以相鄰等分點為頂點向外作小等邊三角形（如圖所示）．
（1）當n=5時，共向外作出了______個小等邊三角形，每個小等邊三角形的面積為______；
（2）當n=k時，共向外作出了______個小等邊三角形，這些小等邊三角形的面積和為______（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）結合圖形正確數出前面幾個具體值，從而發現等邊三角形的個數和等分點的個數之間的關系：是n等分點的時候，每條邊可以作（n-2）個三角形，共有3（n-2）個三角形；再根據相似三角形面積的比是邊長的比的平方進行計算．
解答：解：（1）當n=5時，共有3×（5-2）=9個小等邊三角形，
∴每個小三角形與大三角形邊長的比=，
∵大三角形的面積是S，
∴每個小三角形的面積為；‘

（2）由（1）可知，當n=k時，共有3×（k-2）=3（k-2），每個小三角形的面積為．
點評：此題要特別注意畫等邊三角形的時候，必須以相鄰等分點為頂點向外作小等邊三角形，所以有n等分點的時候，一邊可以作（n-2）個等邊三角形；計算面積的時候，主要是根據面積比是邊長的平方比進行計算．