Question

已知：如圖，在⊙O中，弦AB=AC，過B任作一條弦BE，以A為圓心，AB為半徑畫弧交BE的延長線于F，連接AF交⊙O于D，連CD交AE于G；
（1）求證：AE平分∠CAD；
（2）求證：AE²=EF²+AC•AD．

Answer 1

分析：（1）圓心角及圓周角的關系是求證AE平分∠CAD的關鍵；
（2）欲證明AE²=EF²+AC•AD，可以轉化到相關的圖形中；先證明△ADE∽△DGE，EF=DE，得出EF²=AE²-AE•AG；再證明△ADE∽△AGC，得出AC•AD=AE•AG，從而得證．

解答：證明：（1）∵∠EAC=∠EBC，∠EBC=

1

2

∠CAF，
∴∠EAC=

1

2

∠CAF；
∴AE平分∠CAD．

（2）連接DE、CE；
∵∠EAC=∠CDE，∠EAC=∠DAE，
∴∠DAE=∠GDE；
∵∠ADE=∠DEG，
∴△ADE∽△DGE；
∴

AE

DE

=

DE

GE

；
∴AE•EG=DE²；
∵∠EDF=∠ACE，∠ACE=∠AFB，
∴∠EDF=∠AFB；
∴EF=DE；
∴AE•EG=EF²；
∵EG=AE-AG，
∴AE•EG=AE•（AE-EG）=AE²-AE•AG=EF²；
∵∠AED=∠ACD，∠EAC=∠EAF，
∴△ADE∽△AGC；
∴AC•AD=AE•AG；
∴AE²-AC•AD=EF²；
即AE²=EF²+AC•AD．

點評：本題考查了圓周角定理及相似三角形的判定和性質，是一道較難的題目．