Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，現將△ABC沿射線BC的方向平移a（a＜5）個單位得到△DEF．
（1）求EF的長度；
（2）當a=3時，連接AE、BD，試判斷AE、BD之間的位置關系，并說明理由；
（3）探究：當a為何值時，△ADE是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出；
（2）連接AD，首先判斷四邊形ABED是平行四邊形，再根據AB=BE，即可判定四邊形ABED是菱形，根據菱形的性質，判斷AE、BD之間的位置關系；
（3）此小題需要分三種情況進行討論，①當a=AD=DE=3時，△ADE是等腰三角形；②當AE=DE=3時，△ADE是等腰三角形；③當AE=AD時，△ADE是等腰三角形；求出三種情況下的a的值即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=

AB2+AC2

=

32+42

=5，
∴EF=BC=5．

（2）AE、BD之間的位置關系是垂直且平分．
理由是：
連接AD．
∵AB∥DE，AD∥BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
又∵AB=BE=3，
∴四邊形ABED是菱形，
∴AE、BD垂直且平分．

（3）分三種情況討論：
①如圖1，當a=AD=DE=3時，△ADE是等腰三角形；
②如圖2，當AE=DE=3時，△ADE是等腰三角形．
作EM⊥AD，垂足為M，則有：
AM=

1

2

AD=

1

2

a，
在Rt△AEM中，由勾股定理得：
AE²=AM²+EM²，
即：3²=2.4²+（

1

2

a）²，
解得a=3.6．
③方法一：
當a=2.5時，△ADE是等腰三角形．
∵當a=2.5時，BE=CE=2.5，
∵∠BAC=90°，
∴AE=

1

2

BC=2.5，
又∵AD=a，
∴AE=AD=2.5，
即當a=AE=AD=2.5時，△ADE是等腰三角形；
綜上所述，當a=3或3.6或2.5時，△ADE是等腰三角形．
方法二：
如圖3，當AE=AD時，△ADE是等腰三角形．
設Rt△ABC中BC邊上的高為h，則有：

1

2

×3×4=

1

2

×5×h，解得h=2.4．
由已知可得：AC⊥DE，設垂足為點P，
∵AE=DE，
∴DP=EP=

1

2

DE=1.5，
∵S_ABED=BE×h=DE×AP，
即：2.4a=3AP，解得AP=0.8a，
在Rt△AEP中，∠APE=90°，
∴AE²=PE²+AP²，即：a²=1.5²+（0.8a）²，解得：a=2.5，
即當a=AE=AD=2.5時，△ADE是等腰三角形；
綜上所述，當a=3或3.6或2.5時，△ADE是等腰三角形．

點評：本題主要考查幾何變換綜合題，解答本題的關鍵是熟練掌握平移知識，平行四邊形的判定、菱形的性質及運用分類思想解決問題的方法，此題難度較大，特別是第三問a不止一個數值，同學們解答的時候一定要細心．