Question

如圖，已知∠xoy=90°，線段AB=10，若點A在oy上滑動，點B隨著線段AB在射線ox上滑動，（A、B與O不重合），Rt△AOB的內切⊙K分別與OA、OB、AB切于E、F、P．
（1）在上述變化過程中：Rt△AOB的周長，⊙K的半徑，△AOB外接圓半徑，這幾個量中不會發生變化的是什么？并簡要說明理由；
（2）當AE=4時，求⊙K的半徑r；
（3）當Rt△AOB的面積為S，AE為x，試求：S與x之間的函數關系，并求出S最大時直角邊OA的長．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形的性質，斜邊上的中線等于斜邊的一半，AB的長不變，即△AOB的外接圓半徑不變；
（2）設⊙K的半徑為r，連EK、KF，則四邊形EOFK是正方形，根據切線長定理，可求得r；
（3）設AO=b，OB=a，可得出r=

a+b-10

2

，即2（b-x）+10=a+b，再由S=

1

2

ab，則S=-x²+10x．再求得該函數的頂點坐標的橫坐標．

解答：解：（1）不會發生變化的是△AOB的外接圓半徑，
∵∠AOB=90°，
∴AB是△AOB的外接圓的直徑
AB的長不變，即△AOB的外接圓半徑不變

（2）設⊙K的半徑為r，⊙K與Rt△AOB相切于E、F、P，連EK、KF
∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°，
∴四邊形EOFK是矩形，
又∵OE=OF
∴四邊形EOFK是正方形，
∴OE=OF=r，AE=AP=4，
∴PB=BF=6，
∴（4+r）²+（6+r）²=100，
∴r=-12（不符合題意），r=2，

（3）設AO=b，OB=a，⊙K與Rt△AOB三邊相切于E、F、P，
∴OE=r=

a+b-10

2

，即2（b-x）+10=a+b，∴10-2x=a-b，
∴100-40x+4x²=a²+b²-2ab，
∵S=

1

2

ab，
∴ab=2S，a²+b²=10²
∴100-40x+4x²=100-4S，
∴S=-x²+10x，
另一解法：（x+r）²+（10-x+r）²=100，
∴r²+10r=-x²+10x
S=

1

2

•r（OA+OB+AB）=

1

2

r（r+x+10-x+r+10）=

1

2

r（20+2r）=r²+10r
∴S=r²+10r=-x²+10x，
又∵S=-x²+10x=-（x-5）²+25
∵當x=5時，S最大，即AE=BF=5，
∴OA=

10

2

=5

2

．

點評：本題是一道中考壓軸題，考查了二次函數與三角形的內切圓、外接圓的綜合題，難度偏大．