Question

已知：如圖所示，直線l的解析式為，并且與x軸、y軸分別交于點A、B.

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）一個圓心在坐標原點、半徑為1的圓，以0.4個單位/秒的速度向x軸正方向運動，問在什么時刻與直線l相切；

（3）在題（2）中，若在圓開始運動的同時，一動點P從B點出發，沿射線BA方向以0.5個單位/秒的速度運動，設t秒時點P到動圓圓心的距離為s，求s與t的關系式；

（4）問在整個運動過程中，點P在動圓的圓面(圓上和圓內部)上，一共運動了多長時間？

 

Answer 1

【答案】

（1）（4，0），（0，－3）；（2）秒或秒；（3）；（4）秒.

【解析】

試題分析：（1）根據直線l的解析式為直接求出A、B兩點坐標即可；（2）當圓與直線相切時，分圓還直線l的左右側兩種情況討論即可；（3）分和討論即可；（4）設t秒時，圓心運動到點G，連接GP，先證明△AGP∽△AOB，且GP∥OB。從而根據點P進入和離開動圓的圓面的位置求出在整個運動的過程中，點P在動圓的圓面（圓上和圓的內部）上運動的時間.

試題解析：（1）∵直線l的解析式為，并且與x軸、y軸分別交于點A、B，

∴當y=0時，x=4；當x=0時，y=－3. ∴A、B兩點的坐標分別為A（4，0），B（0，－3）.

（2）若動圓的圓心在C處時與直線l相切，設切點為D，

∵A（4，0）B（0，－3），∴AB=.

如圖，連接CD，則CD⊥AD.

∵∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90⁰，∴Rt△ACD∽Rt△ABO. ∴.

∵CD=1，BO=3，AB=5，∴. ∴. ∴.

∵圓運動的速度為0.4個單位/每秒，∴t=（秒）.

根據對稱性，圓還可能在直線l的右側，與直線相切，

若動圓的圓心在E處時與直線l相切，設切點為F，此時，t=（秒）.

∴當圓運動秒或秒時圓與直線l相切.

（3）.

（4）如圖，設t秒時，圓心運動到點G，連接GP，

∵動點P的速度是0.5個單位/秒，∴BP=0.5t，AP=5－0.5t.

∵動圓的速度是0.4個單位/秒，∴OG=0.4t，AP=4－0.4t.

∴. ∴.

∴△AGP∽△AOB，且GP∥OB. ∴GP⊥OA.

∴當GP=1（圓的半徑）時，點P進入動圓的圓面.

∴，即. ∴.

∴點P經過AP的時間為（秒）.

根據對稱性，點A的右邊點P在動圓的圓面上還有秒.

∴在整個運動的過程中，點P在動圓的圓面（圓上和圓的內部）上一共運動了秒.

考點：1.一次函數綜合題；2.動點和動圓問題；3.直線上點的坐標與方程的關系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性質；6.平行的判定；7.點和圓的位置關系；8.分類思想的應用.