Question

旋轉變換是世界運動變化的簡捷形式之一，也是數(shù)學問題中一種重要的思想方法．解與圖形的旋轉相關的問題常用到全等三角形的知識，而利用旋轉過程中的不變量、不變性是解決問題的關鍵．請你選擇其中一題進行解答．
（1）如圖1，已知P是等邊三角形ABC內一點，PB=2，PC=1，∠BPC=150°，求PA的長；
（2）如圖2，已知O是等邊△ABC內的一點，∠AOB、∠BOC、∠AOC的角度之比為6：5：4．求在以OA、OB、OC為邊的三角形中，此三邊所對的角度之比．

Answer 1

解：（1）如圖，連接PP′，
將△BPC繞C點順時針旋轉60°到△AP′C的位置，由旋轉的性質，得CP=CP′，
∴△PP′C為等邊三角形，
由旋轉的性質可知∠AP′C=∠BPC=150°，
∴∠AP′P=150°-60°=90°，
又∵PP′=PC=1，AP′=BP=2，
∴在Rt△APP′中，由勾股定理，得PA==；

（2）以點A為中心，將△AOB逆時針旋轉60°得△AO′C，
則△AO′C≌△AOB．
∴O′C=OB．連接OO′，
知△AOO′為等邊三角形．
則OO′=OA，
∴△OO′C為以OA、OB、OC為邊組成的三角形，
∵∠AOB：∠BOC：∠AOC=6：5：4，∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，
∴∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，
∵△AOO′為等邊三角形，
∴∠COO′=96°-60°=36°，∠CO′O=∠CO′A-60°=∠AOB-60°=84°，
∠OCO′=180°-36°-84°=60°，
∴∠OCO′：∠COO′：∠CO′O=5：3：7．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質，將△BPC繞C點順時針旋轉60°到△AP′C的位置，可證△PP′C為等邊三角形，由旋轉的性質可知∠AP′C=∠BPC=150°，從而可得∠AP′P=90°，PP′=PC=1，已知AP′=BP=2，在Rt△APP′中，由勾股定理可求PA；
（2）如圖②，將△AOB繞A點逆時針旋轉60°到△AO′C的位置，由旋轉的性質可知OA=OO′，OB=CO′，故以OA、OB、OC為邊組成的三角形為△OO′C，再根據(jù)已知條件求△OO′C的各內角即可．
點評：本題利用了旋轉的性質解題．關鍵是根據(jù)AB=BC，∠ABC=60°，得出等邊三角形，運用勾股定理逆定理得出直角三角形．