Question

如圖，直線PCD過圓心O，PA、PB分別切⊙O于A、B，∠APB=60°，PA=4，AB與PD相交于E．
（1）求弦AB的長；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據切線長定理可以得出∠APB=60°，△PAB為等邊三角形，即可求出；
（2）由S_陰影=S_半圓O-S_△ADE，分別求出各部分的面積即可得出答案．

解答：解：（1）∵PA．PB與⊙O相切于A，B兩點
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△PAB為等邊三角形，
∴AB=PA=4；

（2）連接AD，
∵PA，PB為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴OP平分∠APB，OP垂直平分AB，
∴∠APO=

1

2

∠APB=30°，
∴∠AOP=60°，
∵∠PAO=90°，
∴OA=

AP

3

=

4

3

=

4 3

3

，
∵AE=

1

2

AP=2，
∴AD=

3

AE=2

3

，
∴S_陰影=S_半圓O-S_△ADE
=

1

2

π×（

4 3

3

）²-

1

2

×2×2

3

，
=

8

3

π-2

3

．

點評：此題主要考查了切線長定理與扇形的面積公式等知識，求陰影部分面積不容易求出時，由特殊面積的差得出是常用方法．