Question

已知直角三角形ABC和ADC有公共斜邊AC，M、N分別是AC，BD中點，且M、N不重合．
（1）線段MN與BD是否垂直？請說明理由；
（2）若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=4，求MN的長．

Answer 1

分析：（1）根據題意畫出圖形，再作出輔助線構成等腰三角形，利用等腰三角形的性質進行證明；
（2）注意要分二種情況討論：即B、D在AC兩側和B、D在AC同側．

解答：解：（1）線段MN與BD垂直．
連接MB與MD，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半，可以知道
MB=

AC

2

，MD=

AC

2

，所以MB=MD．
三角形MBD中，N是底邊上的中點，等腰三角形的性質可以說明：
MN垂直BD．

（2）如圖一：連接BM、MD，延長DM，過B作DM延長線的垂線段BE，
∵M是AC的中點，
∴MD⊥AC，△BCM是等邊三角形，
∴在Rt△BEM中，∠EMB=30°，
∵AC=4，∴BM=2，
∴BE=1，EM=

3

，MD=2，
從而可知
BD=

1+(2+ 3 )2

=2

2+ 3

∴BN=

2+ 3

．
由Rt△BMN可得：
MN=

22-( 2+ 3 )2

=

2- 3

．
如圖二：連接BM、MD，延長AD，過B作垂線段BE，
∵M、N分別是AC，BD中點，
∴MD=

1

2

AC，MB

1

2

AC，
∴MD=MB，
∵∠BAC=30°，∠CAD=45°，
∴∠BMC=60°，∠DMC=90°，
∴∠BMD=30°，
∴∠BDM=

180-30

2

=75°，
∵∠MDA=45°
∴∠EDB=180°-∠BDM-∠MDA=60°，
令ED=x，則BE=

3

x，AD=2

2

，AB=2

3

，
∴由Rt△ABE可得：（2

3

）²=（

3

x）²+（x+2

2

）²，
解得x=

2- 3

，則BD=2

2- 3

，
∵M、N分別是AC，BD中點，
∴MD=2   DN=

2- 3

．
由Rt△MND可得：
MN=

22-( 2- 3 )2

=

2+ 3

．

點評：本題綜合考查了等腰三角形的性質和解直角三角形的方法，同時考查了分類討論思想．