Question

已知關于x的一元二次方程x²+（m+2）x+2m-1=0（m為常數）．
（1）若方程有兩個實數根為x₁，x₂，且x₁+x₂+x₁•x₂=-1，求m的值．
（2）若m為任意實數，求判別式△=b²-4ac的值并由此判斷方程根的情況．

Answer 1

分析：（1）利用根與系數的關系來求（x₁+x₂）、x₁•x₂的值，將其代入x₁+x₂+x₁•x₂=-1，來求m的值．
（2）根據根的判別式的符號來判斷方程根的情況．

解答：解：（1）∵方程x²+（m+2）x+2m-1=0（m為常數）有兩個實數根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-m-2、x₁•x₂=2m-1，
∴由x₁+x₂+x₁•x₂=-1，得
-m-1+2m-1=-1，
解得，m=1；

（2）∵△=b²-4ac=（m+2）²-4（2m-1）=（m-2）²+4，則無論m取何值，總有△＞0，
∴關于x的一元二次方程x²+（m+2）x+2m-1=0有兩個不相等的實數根．

點評：本題考查了根與系數的關系、根的判別式．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；
②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；
③當△＜0時，方程無實數根．