Question

如圖，雙曲線y=

k

x

與直線x=k相交于點P，過點P作PA⊥y軸于A，y軸上的點A₁、A₂、A₃…An的縱坐標是連續整數，分別過A₁、A₂…An作x軸的平行線于雙曲線y=

k

x

（x＞0）及直線x=k分別交于點B₁、B₂，…Bn，C₁、C₂，…Cn．
（1）求A的坐標；
（2）求

C1B1

A1B1

及

C2B2

A2B2

的值；
（3）猜想

CnBn

AnBn

的值（直接寫答案）．

Answer 1

分析：（1）由于點P為雙曲線y=

k

x

與直線x=k的交點，則把x=k代入y=

k

x

，得y=1，得到A點坐標為（0，1）；
（2）利用點A₁、A₂、A₃…An的坐標是連續整數得到A₁（0，2），A₂（0，3），易得B₁（

k

2

，2），C₁（k，2），B₂（

k

3

，3），C₂（k，3），則得A₁B₁=

k

2

，B₁C₁=

k

2

，C₂B₂=

2k

3

，A₂B₂=

k

3

，
于是可計算出求

C1B1

A1B1

、

C2B2

A2B2

的值；
（3）先得到An的坐標為（0，n+1），則Bn的坐標（

k

n+1

，n+1），Cn的坐標為（k，n+1），所以AnBn=

k

n+1

，BnCn=k-

k

n+1

=

n

n+1

k，易得

CnBn

AnBn

的值．

解答：解：（1）把x=k代入y=

k

x

，得y=1，
∵PA⊥y軸于A，
∴A點坐標為（0，1）；

（2）∵A₁、A₂…An的坐標為連續整數，
∴A₁（0，2），A₂（0，3）．
∴B₁（

k

2

，2），C₁（k，2），B₂（

k

3

，3），C₂（k，3）．
∴A₁B₁=

k

2

，B₁C₁=

k

2

，C₂B₂=

2k

3

，A₂B₂=

k

3

，
∴

C1B1

A1B1

=1，

C2 B2

A 2B2

=2；

（3）

CnBn

AnBn

=n．

點評：本題考查了反比例函數綜合題：點在函數圖象上，則點的橫縱坐標滿足圖象的解析式；平行于x軸的直線上所有點的縱坐標相等；平行于y軸的直線上所有點的橫坐標相等．