Question

如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B.記點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為C（B、C不重合）.連結(jié)CB,CP。

1.當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長；

2.當(dāng)時(shí)，連結(jié)CA，問為何值時(shí)？

3.過點(diǎn)P作且，問是否存在，使得點(diǎn)E落在坐標(biāo)軸上？若存在，求出所有滿足要求的的值，并定出相對應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

1.當(dāng)m=3時(shí)，y=－x²+6x

令y=0，得－x²+6x=0，

∴∴A(6,0)

當(dāng)x=1時(shí)，y=5，∴B（1,5）

又∵拋物線的對稱軸為直線x=3，

又∵B、C關(guān)于對稱軸對稱，∴BC=4 （4分）

2.過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖1）

由已知得∠ACP=∠BCH=90°

∴∠ACH=∠PCB

又∵∠AHC=∠PBC=90°，

∴△ACH∽△PCB

∵拋物線的

對稱軸為直線x=m，其中，

又∵B，C關(guān)于對稱軸對稱，

∴BC=2(m－1)

∵B(1,2 m－1),P(1,m),

∴BP= m－1，

又∵A(2m,0),C(2m－1,2m－1),

∴H(2m－1,0)

∴AH=1,CH=2m－1

∴（8分）

3.∵B，C不重合，∴m≠1，

(Ⅰ)當(dāng)m＞1時(shí)，BC=2(m－1)

PM=m, BP= m－1.

(ⅰ)若點(diǎn)E在x軸上（如圖2），

∵∠CPE=90°，

∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP =90°

∴∠MEP=∠BPC

又∵∠PME=∠CBP=90°，PC=EP

∴△BPC≌△MEP

∴BC=PM，

∴2(m－1)=m

∴m=2

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2,0）

(ⅱ)若點(diǎn)E在y軸上（如圖3）

過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，

易證△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，

∴ m－1=1，

∴m=2，

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0,4）

 (Ⅱ)當(dāng)0＜m＜1時(shí)， BC=2(m－1)，PM=m

    BP= m－1.

(ⅰ) 若點(diǎn)E在x軸上（如圖4），

   易證△PBC≌△MEP，

∴BC=PM

2(m－1)=m

∴m=

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（,0）

 (ⅱ)若點(diǎn)E在y軸上（如圖5）

過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，

易證△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，

∴ 1－m =1，

∴m=0，（∵m>0,舍去）

綜上所述，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2,0）或（0,4）；

          當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（,0）（14分）

【解析】1）把m=3，代入拋物線的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即為和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再求出拋物線的對稱軸方程，進(jìn)而求出BC的長；

（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知條件證明△AGH∽△PCB，根據(jù)相似的性質(zhì)得到：，再用含有m的代數(shù)式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；

（3）存在，本題要分當(dāng)m＞1時(shí)，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1和當(dāng)0＜m＜1時(shí)，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，兩種情況分別討論，再求出滿足題意的m值和相對應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo)．

【解析】略