Question

某住宅小區，為美化環境，提高居民生活質量，要建一個八邊形居民廣場（平面圖如圖，其中，正方形MNPQ與四個相同矩形（圖中陰影部分）的面積的和為800m²．
（1）設矩形的邊長AB=x（m），AM=y（m），用含x的代數式表示y為______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，正方形MNPQ與四個相同矩形（圖中陰影部分）的面積的和為800m²列出關系式即可．
（2）①可根據等量關系：總造價=矩形區域鋪花崗巖的造價+四角直角三角形中鋪草坪的造價來得出關于s，x，y的等量關系式，然后根據①中y，x的關系式用x替換掉y，即可得出s，x的函數關系式．
②根據①的函數的性質即可得出S的最小值是多少，如果S的最小值大于銀行貸款的數額，那么只靠銀行貸款就不能完成此項目，反之則能．
③可將銀行貸款與追加的金額的和（即S的值）代入①的函數式中即可求出x的值．進而可根據x，y即AB，AM的長來設計方案．
解答：解：（1）y=（0＜x＜20）．

（2）①s=2100x²+105×4xy+40×4×y²
=2100x²+420x×+80（-）²
=2000x²++76000（0＜x＜20）．
②s=2000（x²+-80）+76000+2000×80=2000×（x-）²+236000＞235000．
∴光靠銀行貸款不能完成該工程的建設任務．
③由s=235000+73000=308000，
2000x²++76000=308000，
即x²-116+=0．
設x²=t，
得t²-116t+1600=0，
得t₁=100，t₂=16．
當t=100時，x²=100，x₁=10，x₂=-10（舍去）．此時y=17.5；
當t=16時，x²=16，x=±4（舍去負值），此時y=49．
故設計方案為
情形一：正方形區域邊長為10m，四個相同的矩形區域的長和寬分別為17.5m和10m，四個相同的三角形區域的直角邊長為17.5m．
情形二：正方形區域的邊長為4m，四個相同的矩形區域的長和寬分別為49m和4m，四個相同的三角形區域的直角邊長均為49m．
（設計方案不同，得出的結果就不同）
點評：本題結合實際問題考查了二次函數以及一元二次方程的應用，根據題意找準等量關系從而列出函數關系式是解題的關鍵．