Question

將圖（1）中的矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到圖（2）中的△A′BC′，AB=6，BC=8．
（1）除△ADC與△C′BA′全等外，你還可以指出哪幾對全等的三角形（不能添加輔助線和字母）？
（2）試證明四邊形A′ECF是平行四邊形；
（3）當圖（2）中的BC多長時，平行四邊形A′ECF的面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平移的性質得出對應線段相等，再利用全等三角形的判定求出即可；
（2）利用平行四邊形的性質，首先得出△A′DF≌△CBE，再利用A′E=CF，得出四邊形是平行四邊形；
（3）利用相似三角形的性質得出DF=x，進而得出平行四邊形的面積，利用二次函數的增減性求出即可．
解答：（1）解：由平移的性質可知：
∵AA′=CC′，
又∵∠A=∠C′，
∠AA′E=∠C′CF=90°，
∴△AA′E≌△C′CF．
∵A′C′∥AC，
∴∠DCE=∠DFA′，
∵∠BCE+∠ECF=90°，∠A′FD+∠DA′F=90°
∴∠ECB=∠DA′F，
∵BC=A′D，∠B=∠D，
∴△A′DF≌△CBE，
有兩對全等三角形，分別為：△AA′E≌△C′CF，△A′DF≌△CBE；

（2）證明：由平移的性質可知：A′E∥CF，A′F∥CE，
∴四邊形A′ECF是平行四邊形．
∴A′F=CE，A′E=CF．
∵A′B=CD，
∴DF=BE，
又∵∠B=∠D=90°，
∴△A′DF≌△CBE．
∴A′F=CE，DF=BE，
∵A′B=DC，
∴A′B-EB=DC-DF，即A′E=CF，
∴四邊形A′ECF是平行四邊形；

（3）解：假設BC=x，
∴CC′=8-x，
∵AD∥BC′，
∴△DFA′∽△CFC′，
∴=，
∴=，
解得：DF=x，
∴平行四邊形A′ECF的面積為：CF×BC=x²，
∴當x=8時，平行四邊形A′ECF的面積最大．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的判定與性質和二次函數的增減性，求最值問題一般是二次函數的最值問題，應有意識的應用．