Question

如圖，直線y=kx+b（k≠0）與拋物線y=ax²（a≠0）交于A，B兩點，且點A的橫坐標是-2，點B的橫坐標是3，則以下結論：
①拋物線y=ax²（a≠0）的圖象的頂點一定是原點；
②x＞0時，直線y=kx+b（k≠0）與拋物線y=ax²（a≠0）的函數值都隨著x的增大而增大；
③AB的長度可以等于5；
④△OAB有可能成為等邊三角形；
⑤當-3＜x＜2時，ax²+kx＜b，
其中正確的結論是

1. A.
   ①②④
2. B.
   ①②⑤
3. C.
   ②③④
4. D.
   ③④⑤

Answer 1

B
分析：①由頂點坐標公式判斷即可；
②根據圖象得到一次函數y=kx+b為增函數，拋物線當x大于0時為增函數，本選項正確；
③AB長不可能為5，由A、B的橫坐標求出AB為5時，直線AB與x軸平行，即k=0，與已知矛盾；
④三角形OAB不可能為等邊三角形，因為OA與OB不可能相等；
⑤直線y=-kx+b與y=kx+b關于y軸對稱，作出對稱后的圖象，故y=-kx+b與拋物線交點橫坐標分別為-3與2，找出一次函數圖象在拋物線上方時x的范圍判斷即可．
解答：①拋物線y=ax²，利用頂點坐標公式得：頂點坐標為（0，0），本選項正確；
②根據圖象得：直線y=kx+b（k≠0）為增函數；拋物線y=ax²（a≠0）當x＞0時為增函數，則x＞0時，直線與拋物線函數值都隨著x的增大而增大，本選項正確；
③由A、B橫坐標分別為-2，3，若AB=5，可得出直線AB與x軸平行，即k=0，
與已知k≠0矛盾，故AB不可能為5，本選項錯誤；
④若OA=OB，得到直線AB與x軸平行，即k=0，與已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能為等邊三角形，本選項錯誤；
⑤直線y=-kx+b與y=kx+b關于y軸對稱，如圖所示：

可得出直線y=-kx+b與拋物線交點C、D橫坐標分別為-3，2，
由圖象可得：當-3＜x＜2時，ax²＜-kx+b，即ax²+kx＜b，
則正確的結論有①②⑤．
故選B．
點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識有：拋物線頂點坐標公式，一次函數與二次函數的增減性，關于y軸對稱點的性質，利用了數形結合的思想，熟練對稱性質及數形結合思想是判斷命題⑤的關鍵．