Question

（1999•山西）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，M、N分別在AB、AD邊上，若△CMN為正三角形，則此正三角形的邊長為    ．

Answer 1

【答案】分析：先設DN=x，AM=y，利用勾股定理可分別求出等邊三角形MNC的三邊長，聯立，解二元二次方程組，可求x、y，從而求出等邊三角形MNC的邊長．
解答：解：設DN=x，AM=y，
在Rt△CDN中，有CD²+DN²=CN²，即1+x²=CN²；
在Rt△AMN中，有AN²+AM²=MN²，即（1-x）²+y²=MN²；
在Rt△BCM中，有BM²+BC²=CM²，即（1-y）²+1=CM²；
∵△CMN是等邊三角形，
∴MN=CM=CN，
∴1+x²=（1-x）²+y²=（1-y）²+1，
解得y=-1，x=2-，
∴CN²=1+（2-）²=8-4=（-）²，
∴CN=-．
點評：本題利用了勾股定理、等邊三角形的性質、解二元二次方程組等知識．