Question

（1999•山西）如圖，己知Rt△OAB的斜邊OA在x軸正半軸上，直角頂點B在第一象限，OA=5，OB=．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求經過O、A、B三點且對稱軸平行于y軸的拋物線的解析式，并確定拋物線頂點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了OA的長，即可得到A點的坐標；過B作BD⊥x軸于D，易證得Rt△OBD∽Rt△OAB，可通過得到的比例線段求出OD的長；進而可在Rt△OBD中，由勾股定理求出BD的長，由此可得到B點的坐標；
（2）已知二次函數圖象上的三點坐標，即可用待定系數法求得函數的解析式，進而可用配方法求出拋物線的頂點坐標．
解答：解：（1）∵OA在x軸正半軸上，且OA=5，
∴A點坐標為（5，0）；（1分）
過B作BD⊥OA于D，則△BOD∽△AOB，
∴；
∴OD==1；
在Rt△ODB中，由勾股定理得，BD==2；
∴B點坐標為（1，2）；（2分）

（2）因為拋物線經過O（0，0）、A（5，0）兩點，
∴可設其解析式為y=ax（x-5）；（3分）
又∵過點B（1，2），∴2=a（1-5）×1，
∴a=-；（4分）
∴所求拋物線解析式為y=-x（x-5），即y=-x²+x；（5分）
配方得y=-（x-）²+；
∴拋物線頂點坐標為（，）．（6分）
點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、二次函數解析式的確定、拋物線頂點坐標的求法等知識．