Question

已知1³=1=

1

4

×1²×2²，1³+2³=9=

1

4

×2²×3²，1³+2³+3³=36=

1

4

×3²×4²，…，按照這個規律完成下列問題：
（1）1³+2³+3³+4³+5³=

225

=

1

4

×

5

²×

6

²．
（2）猜想：1³+2³+3³+…+n³=

1

4

×n²×（n+1）²

．
（3）利用（2）中的結論計算：（寫出計算過程）11³+12³+31³+14³+15³+16³+…+39³+40³．

Answer 1

分析：（1）根據題目提供的三個算式利用類比法可以得到1³+2³+3³+4³+5³的結果；
（2）根據上面的四個算式總結得到規律1³+2³+3³+…+n³=

1

4

×n²×（n+1）²；
（3）11³+12³+31³+14³+15³+16³+…+39³+40³轉化為1³+2³+3³+…+39³+40³-（1³+2³+3³+…+10³）后利用總結的規律即可求得答案．

解答：解：（1）1³+2³+3³+4³+5³=225=

1

4

×5²×6²    
（2）猜想：1³+2³+3³+…+n³=

1

4

×n²×（n+1）²        
（3）利用（2）中的結論計算：
11³+12³+31³+14³+15³+16³+…+39³+40³．
解：原式=1³+2³+3³+…+39³+40³-（1³+2³+3³+…+10³）
=

1

4

×40²×41²-

1

4

×10²×11²                 
=672400-3025
=669375

點評：本題考查了數字的變化類問題，仔細的觀察題目提供的算式并找到規律是解決此題的關鍵．