Question

28、觀察下列圖形的變化過程，解答以下問題：

如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一動點（D點不與B、C兩點重合）．DE∥AC交AB于E點，DF∥AB交AC于F點．

（1）試探索AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形？為什么？

Answer 1

分析：（1）當AD平分∠BAC時，四邊形AEDF為菱形．可先證明四邊形AEDF為平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，即可證明四邊形AEDF為菱形；
（2）當∠BAC=90°時，菱形AEDF是正方形．因為有一個角是直角的菱形是正方形．

解答：解：（1）當AD平分∠BAC時，四邊形AEDF為菱形．
∵AE∥DF，DE∥AF，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD
又∠FAD=∠ADE，
∴∠DAE=∠ADE，
∴AE=DE，
∴平行四邊形AEDF為菱形；

（2）當∠BAC=90°時，菱形AEDF是正方形．因為有一個角是直角的菱形是正方形．

點評：此題主要考查菱形和正方形的判定．