Question

香港的“公屋制度”，解決了30%以上，約200萬人口的居住問題．內地對公租房建設也多有討論，但尚未有一個城市真正的大規模嘗試．重慶建設公共租賃住房，意在重點解決“夾心層”住房問題，力爭城市保障性住房的“全覆蓋”．經過認真調研，重慶市政府決定，計劃10年內解決低收入人群的住房問題．在內地城市中首開了實施“公租房”制度，根據政府安排，前6年年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬平方米），與時間x的關系是，（x單位：年，1≤x≤6且x為整數）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬平方米），與時間x的關系是，（x單位：年，7≤x≤10且x為整數）；由于部分已修公租房設施老化需要維修更新，經測算，需要投入更新設備的資金p（單位：百萬元）與年分x的數量關系滿足p=30x-34，假設每年的公租房全部出租完，另外，隨著物價上漲等因素的影響，每年的租金也隨之上調，預計，第x年投入使用的公租房的租金z（單位：元/㎡）與時間x（單位：年，1≤x≤10且x為整數）滿足一次函數關系如下表：

z（元/㎡）	50	52	54	56	58	…
x（年）	1	2	3	4	5	…

（1）求出z與x的函數關系式；
（2）求政府在第幾年投入的公租房所獲利潤最多，最多為多少百萬元？
（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解決20萬人的住房問題，政府計劃在第8年投入的公租房總面積不變的情況下，要讓人均住房面積比第6年人均住房面積提高a%，這樣可解決住房的人數將比第6年增加1.35a%，求a的值（結果保留整數）
（參考數據：，，）

Answer 1

解：（1）設z=kx+b，把（1，50）（2，52）代入函數解析式解得k=2，b=48，
所以z=48+2x；

（2）設第x年竣工并投入使用的公租房收取的租金為w百萬元w=y•z-p，
當1≤x≤6時：w=（）（48+2x）-（30x-34）=-x²-28x+274，
對稱軸為x=-42，在對稱軸的右側w隨著x的增大而減小，因此當x=1時取得最大值，
x=1時，W_max=（百萬元）；
當7≤x≤10時，w=（）（48+2x）-（30x-34）=x²-8x+274，
對稱軸為x=8，在對稱軸的左側w隨著x的增大而減小，在對稱軸的右側w隨著x的增大而增大，因此當x=10時取得最大值，
x=10時，W_max=244（百萬元）；
＞244，
即當在第1年投入的公租房所獲利潤最多，最多百萬元；

（3）第8年投入的公租房總面積為×8+5=7（百萬平方米），
第6年投入的公租房總面積為-×6+5=4（百萬平方米），
4÷20×（1+a%）×20×（1+1.35a%）=7，
解得a%=，
a%只能取≈0.28，
因此a=28．
分析：（1）由自變量x逐漸增大，而相對應的函數值z逐漸增大，且數據均勻增加，可以推測z是x的一次函數；
（2）利用公租房收取的租金=公租房租金z（元/m²）×投入使用的公租房面積y（百萬平方米）列出二次函數，利用二次函數的性質求得最大值即可；
（3）利用第6年人均住房面積×（1+a%）×第6年解決的人數×（1+1.35a%）=第8年人均住房面積，列方程解決問題．
點評：此題主要考查待定系數法求一次函數，利用基本數量關系求二次函數解析式以及利用性質求最大值，并利用基本數量關系列方程解決實際問題，是一道綜合性很強的題目．