Question

如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點D，與直角邊AC相交于點E，且DE∥BC，已知AE=2

2

，AC=3

2

，BC=6，則⊙O的半徑是

 

．

Answer 1

分析：延長AC交⊙O于F，連接FD．證明DF為直徑，FD⊥AD．利用△ADE∽△ABC求DE；利用△ADE∽△DFE求EF；利用勾股定理求DF．得解．

解答：解：延長AC交⊙O于F，連接FD．
∵∠C=90°，DE∥BC，
∴∠DEF=90°，∴FD是圓的直徑．
∵AB切⊙O于D，∴FD⊥AB．
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．
∴

AE

AC

=

DE

BC

，即

2 2

3 2

=

DE

6

，
∴DE=4．
∵∠ADF=90°，DE⊥AF，
∴△ADE∽△DFE，
∴DE2=AE•EF，即42=2

2

•EF，
∴EF=4

2

．
∴DF=

42+(4 2 )2

=4

3

，
∴半徑為2

3

．

點評：此題考查了切線的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、圓周角定理等知識點，作輔助線把半徑轉化到直角三角形中是關鍵．