Question

（2012•青田縣模擬）為了探索代數式

x2+1

+

(8-x)2+25

的最小值，小明巧妙的運用了“數形結合”思想．具體方法是這樣的：如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，設BC=x．則AC=

x2+1

，CE=

(8-x)2+25

，則問題即轉化成求AC+CE的最小值．
（1）我們知道當A、C、E在同一直線上時，AC+CE的值最小，于是可求得

x2+1

+

(8-x)2+25

的最小值等于

10

，此時x=

4

3

；
（2）請你根據上述的方法和結論，試構圖求出代數式

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據兩點之間線段最短可知AC+CE的最小值就是線段AE的長度．過點E作EF∥BD，交AB的延長線于F點．在Rt△AEF中運用勾股定理計算求解．
（2）由（1）的結果可作BD=12，過點A作AF∥BD，交DE的延長線于F點，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質可求得AE的值就是代數式

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值．

解答：解：（1）過點E作EF∥BD，交AB的延長線于F點，
根據題意，四邊形BDEF為矩形．
AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8．
∴AE=

62+82

=10．
即AC+CE的最小值是10．

x2+1

+

(8-x)2+25

=10，
∵EF∥BD，
∴

AB

AF

=

BC

EF

，
∴

1

6

=

x

8

，
解得：x=

4

3

．

（2）過點A作AF∥BD，交DE的延長線于F點，
根據題意，四邊形ABDF為矩形．
EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12．
∴AE=

52+122

=13．
即AC+CE的最小值是13．

點評：本題主要考查了最短路線問題以及勾股定理應用，利用了數形結合的思想，通過構造直角三角形，利用勾股定理求解是解題關鍵．