Question

如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長線上一點且PC=PF．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）點D在劣弧AC什么位置時，才能使AD²=DE•DF，為什么？
（3）在（2）的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，證明∠OCP=90°即可．
（2）乘積的形式通常可以轉化為比例的形式，通過證明三角形相似得出．
（3）可以先根據勾股定理求出DH，再通過證明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長．
解答：（1）證明：連接OC．
∵PC=PF，OA=OC，
∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，
∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，
∴∠AHF=90°，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：點D在劣弧AC中點位置時，才能使AD²=DE•DF，理由如下：
連接AE．
∵點D在劣弧AC中點位置，
∴∠DAF=∠DEA，
∵∠ADE=∠ADE，
∴△DAF∽△DEA，
∴AD：ED=FD：AD，
∴AD²=DE•DF．

（3）解：連接OD交AC于G．
∵OH=1，AH=2，
∴OA=3，即可得OD=3，
∴DH===2．
∵點D在劣弧AC中點位置，
∴AC⊥DO，
∴∠OGA=∠OHD=90°，
在△OGA和△OHD中，
，
∴△OGA≌△OHD（AAS），
∴AG=DH，
∴AC=4．
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了相似三角形的性質及全等三角形的性質．