Question

（2012•樂山模擬）如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，與y軸交于C點，對稱軸與拋物線相交于點P，與直線BC相交于點M，連接PB．已知x₁、x₂恰是方程x²-2x-3=0的兩根，且sin∠OBC=

2

2

．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在一點Q，使△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由；
（3）在第一象限、對稱軸右側的拋物線上是否存在一點R，使△RPM與△RMB的面積相等？若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程的解，可得出OA、OB，根據sin∠OBC=

2

2

可得出OC的長度，將點C的坐標代入，可得出a的值，繼而可得出拋物線的解析式；
（2）因為兩三角形的底邊MB相同，所以只需滿足MB上的高相等即可滿足題意；
（3）根據前面所求可得出點M是PP'的中點，從而過點M作x軸的平行線，與拋物線的交點即為所求．

解答：解：（1）由已知，可求：OA=1，OB=3，OC=3，
設拋物線的函數關系式為y=a（x+1）（x-3），
∵拋物線與y軸交于點C（0，3），
∴3=a×1×（-3），
解得：a=-1，
所以二次函數式為y=-x²+2x+3．
（2）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
則頂點P（1，4），共分兩種情況，如圖1：

①由B、C兩點坐標可知，直線BC解析式為y=-x+3，
設過點P與直線BC平行的直線為：y=-x+b，
將點P（1，4）代入，得y=-x+5．
則直線BC代入拋物線解析式是否有解，有則存在點Q，
即可得：-x²+2x+3=-x+5，
解：x=1或x=2，
代入直線則得點（1，4）或（2，3）．
已知點P（1，4），
所以點Q（2，3）．
②由對稱軸及直線BC解析式可知M（1，2），PM=2，
設過P′（1，0）且與BC平行的直線為y=-x+c，
將P′代入，得y=-x+1．
聯立

y=-x+1 y=-x2+2x+3

，
解得

x= 3- 17 2 y= -1+ 17 2

或

x= 3+ 17 2 y= -1- 17 2

．
故可得存在Q它的坐標為（2，3）或（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

）或（

3+ 17

2

，

-1- 17

2

）．
（3）由（2）可得：M（1，2），如圖2：
由點M，P的坐標可知點R存在，即過點M平行于x軸的直線，

則可得-x²+2x+3=2，
解得x₁=1-

2

（在對稱軸的左側，舍去），x₂=1+

2

，
即點R（1+

2

，2）．

點評：此題屬于二次函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、一元二次方程的解及三角形的面積，綜合性較強，解答本題的難點在第三問，關鍵是根據點M是PP'的中點求解，難度較大．